§1 · Introduction
Deux questions qu'un joueur peut se poser
Nash
« Étant donné ce que font les autres, quelle est ma meilleure réponse ? »
Chaque joueur optimise seul. Dans le dilemme du prisonnier, cela conduit à la défection mutuelle, alors que tout le monde gagnerait à coopérer.
Kant · Roemer
« Quelle stratégie voudrais-je voir adoptée par tous ? »
Le joueur évalue sa stratégie comme une loi universelle. La coopération devient rationnelle sans contrainte extérieure ni altruisme.
§2 · Équilibres kantiens (Roemer, 2019)
Trois façons d'universaliser
Équilibre kantien simple (SKE)
Une stratégie que chaque joueur préfère voir adoptée par tous. Tout jeu à diagonale commune en admet un (Roemer, prop. 2.1).
Équilibre multiplicatif $K_\times$
$$V^i(s_1,\dots,s_n)\ \ge\ V^i(rs_1,\dots,rs_n)\quad \forall i,\ \forall r\ge 0$$
Personne ne veut multiplier l'effort de tous par un même facteur. Exemple : réduire les émissions proportionnellement.
Équilibre additif $K_+$
$$V^i(s_1,\dots,s_n)\ \ge\ V^i(s_1+r,\dots,s_n+r)\quad \forall i,\ r\ge -s_i$$
Personne ne veut décaler l'effort de tous d'une même quantité. Exemple : « et si chacun contribuait un peu plus à l'impôt ? »
§3 · Cadre dynamique
Jeux symétriques finis
Le papier se restreint aux jeux à deux joueurs, symétriques, à $n$ stratégies pures. Le jeu est entièrement décrit par une matrice $A$ (l'autre joueur reçoit $A^\top$). L'état de la population est un point du simplexe $x\in\Sigma^n$, où $x_i$ est la part des joueurs qui jouent $i$.
Le point de départ est le réplicateur :
$$\dot x_i = x_i\big[(e_i,Ax)-(x,Ax)\big]$$
Toute dynamique candidate $\dot x_i = f_i(x,A)$ doit respecter deux conditions :
$$\textstyle\sum_i f_i(x,A)=0 \ \ \text{(invariance)}\qquad f_i(x,A)=0\ \text{si}\ x_i=0\ \ \text{(bord)}$$
La première garde la population dans le simplexe, la seconde empêche une stratégie absente d'apparaître.
§3.1 · L'équation Moralisator
Regarder la diagonale plutôt que la ligne
| Défection | Coopération |
|---|
| Défection | −10 | 0 |
|---|
| Coopération | −15 | −1 |
|---|
Le réplicateur fait croître la stratégie $i$ selon $(Ax)_i$, le gain moyen de $i$ face à la population actuelle. Un joueur kantien regarde plutôt $A_{ii}$ : ce qu'il gagnerait si tout le monde jouait $i$. Ici la défection rapporte $-10$ quand elle est universelle, la coopération $-1$.
$$\dot x_i = x_i\Big[A_{ii}-\textstyle\sum_j x_jA_{jj}\Big]$$
Soustraire simplement $\mathrm{Tr}(A)/n$ ne marcherait pas : l'équation ne dépendrait plus de $x$ et violerait les conditions (1) et (2). La référence est donc la moyenne des gains diagonaux pondérée par la population.
§3.2 · Propriétés
Trois théorèmes
Théorème 1. Le Moralisator satisfait l'invariance et la condition de bord ; ses solutions existent et sont uniques pour tout temps (champ polynomial, simplexe compact).
Théorème 2. Le gain diagonal moyen $\bar a(t)=\sum_j x_j(t)A_{jj}$ est croissant.
$$\frac{d\bar a}{dt}=\sum_j x_j\big(A_{jj}-\bar a\big)^2\ \ge 0$$
C'est la variance des gains diagonaux sous $x$, un analogue du théorème fondamental de Fisher.
Théorème 3. Si $A_{11}>A_{ii}$ pour tout $i\ne1$ et $x_1(0)>0$, alors $x_1(t)\to1$. La population moralisatrice converge vers la meilleure stratégie universelle.
Si plusieurs stratégies partagent le maximum diagonal, la solution converge vers un mélange de celles-ci, structurellement instable.
§3.3 · Interpolation
Le coefficient de moralité $k$
Aucune population n'est purement égoïste ni purement morale. L'équation k-Replimorator est la combinaison convexe des deux champs :
$$\dot x_i = x_i\Big(k\Big[A_{ii}-\textstyle\sum_j x_jA_{jj}\Big]+(1-k)\Big[\textstyle\sum_j x_jA_{ij}-\sum_{j,l}x_jx_lA_{jl}\Big]\Big)$$
Elle hérite de l'invariance et de la condition de bord. Pour un jeu à deux stratégies, avec $x$ la part de la stratégie suivie, elle se réduit à
$$\dot x = x(1-x)\,g_k(x),\qquad g_k(x)=k\,\Delta_{\text{diag}}+(1-k)\,\Delta_{\text{gain}}(x)$$
$g_k$ est affine en $x$ et en $k$ : c'est ce qui donne les seuils $k_c$ en forme close du §4. Le laboratoire calcule ces seuils directement à partir de la matrice que vous saisissez.
§4.4 et §5 · Ce que montrent les exemples
Trois régimes selon la nature des équilibres
ESS pures : bascule à seuil
Dilemme du prisonnier, cerf–lièvre. Sous $k_c$ la population va vers l'équilibre mauvais, au-dessus vers l'optimum de Pareto. Le seuil baisse quand la coopération initiale augmente.
ESS mixte : glissement continu
Faucon–colombe. La moralité déplace l'équilibre mixte vers plus de colombes, jusqu'à la colombe pure.
Coordination : bassin qui s'étend
Vache, cerf et lièvre. Le bassin de l'optimum grandit avec $k$ et couvre presque tout le simplexe vers $k=0{,}3$.